The Laplace Transform of Vector-Valued Functions - Moedomo Soedigdomarto (Institute for Research and Community Services (LPPM) ITB, 1961)
Teori klasik dari transformasi Laplace-Stieltjies, telah diperluas oleh E. Hille l4l untuk fungsi-fungsi pada [0,âˆž] ke dalam ruang Banach X jang mempunjai sifat bahwa setiap bilangan positip R, dengan supermum yang diambil terhadap semua koleksi-koleksi hingga [rj, tj]j=1 dari sub-interval2 lepas dari [0,R]. Setelah itu S.Zaidman (8) menyelediki hal jang serupa untuk fungsi-fungsi Î± jang bersifat kumpulan2 variasinya V ([0,R], Î±) jaitu koleksi semua elemen dari X jang berbentuk, merupakan sub kumpulan jang kompak di X.Karangan ini membitjarakan kemungkinan untuk membangun teori transformasi Laplace-Stieltjes untuk fungsi2 jang sifat2nja lebih umum daripada fungsi2 jang dipeladjari oleh Hille dan Zaidman. Ternjata bahwa banjak hukum2 jang berlaku untuk transformasi fungsi dengan harga scalar berlaku djuga di sini.Perhitungan absis konvergensi Ïƒc(Î±) dapat dikerdjakan serupa dengan perhitungan untuk fungsi2 berharga scalar (lihat [6]), dan begitu pula dengan hukum2 yang berhubungan dengan analistas berlaku di sini.Suatu hal yang menarik ialah bahwa rumus inversi, dengan a > max [0, Ïƒc(Î±)] tidak berlaku tanpa sjarat tambahan jang harus dipenuhi oleh fungsi Î±,Demikian Hille telah membuktikan bahwa rumus inversi di atas berlaku bila Î± mempunjai variasi jang terbatas absolute pada setiap interval jang hingga, sedangkan Zaidman mempergunakan sjarat tambahan bahwa pada variasi Î± pada setiap interval hingga adalah kompak.Ternjata bahwa kedua sjarat di atas dapat diperlunak mendjadi sjarat bahwa variasi Î± pada setiap interval jang hingga harus kompak dalam topologi lemah dari X.Lagipula, rumus inverse akan berlaku tanpa syarat untuk Î± , asal ruang X adalah lengkap-lemah, chususnya bila X refleksif. Hasil ini kami dasarkan atas karya Bartle, Dunford, dan Schwartz.